Topología y SIG (2)

En este post ampliamos uno escrito previo  sobre Topología y SIG  mostrando algunos ejemplos de propiedades topológicas que habíamos explicado anteriormente:

Como mencionamos, algunas de las propiedades topológicas que se usan en SIG son:

• Inclusión
• Vecindad
• Conectividad o conexión

La primera se usa para definir la condición de que una figura geométrica este dentro de otra. La segunda se usa para definir las vecindades entre figuras. Y la tercera y última se usa para estudiar el comportamiento de redes (grafos topológicos).

Veamos un ejemplo de cada una de ellas:

Inclusión:  Se observa en el dibujo adjunto, que si bien se ven las figuras como distintas desde el punto de vista de la geometría euclidiana (el dibujo de los cuadrados de la figura izquierda y los esferoides de la derecha), la propiedad de inclusión se mantiene. La figura B es interna a la figura externa A  en ambos dibujos. Podemos suponer que la figura de los cuadrados ha sido dibujado sobre una lámina elástica para obtener la segunda figura por extiramiento.

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Vecindad: En este dibujo se observa algo similar al dibujo anterior. En este caso la superficie A es vecina de B y la propiedad de vecindad se conserva en las dos figuras.

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Conexión o conectividad: Aquí podemos observar que las conexiones entre los nodos A,B,C,D,y E se mantienen en las dos figuras del dibujo, a pesar que los dibujos superior izquierdo e inferior derecho se vean bien diferentes.

Supongamos que los dibujos sean una representación de un fixture de partidos de fútbol donde los nodos A,B,C,D, y E son los equipos o clubes y que los segmentos, que unen los nodos, son y representen los partidos a jugar.

Podemos verificar que los partidos entre clubes a jugar siguen siendo los mismos a pesar que las dos figuras las veamos diferentes. Es decir la propiedad topológica de conexión se verifica.

La propiedad de conexión puede ser también representada matemáticamente por una matriz cuadrada  de»nxn» elementos. En la matriz que sigue más abajo, podemos observar la representación  de la figura anterior desde la formulación matricial. Para esta matriz hemos supuesto que la diagonal principal, que supone el juego con el mismo equipo, toma el valor de uno.

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Podemos agregar como ejemplo adicional, que en vez de ser equipos de fútbol,  las letras representen ciudades y los segmentos rutas. Luego en este caso la figura nos habla de la posibilidad de existir de un camino directo entre ciudades. Si volvemos a la matriz, y suponemos que pueden haber caminos de una sola vía (de ida o vuelta) y de dos vías observaremos que la matriz no es más simétrica. Ahora no va ser los mismo ir de A hacia B, que desde B hacia A. Suponemos que si  el camino sólo tiene una dirección no es posible el tránsito en la otra. Luego, tendremos que poner valores distintos para cada una de las celdas según la posibilidad de tránsito de una ciudad a otra se corresponda con camino de ida, camino de vuelta o en ambas direcciones.

Bibliografía:

«Análisis de algoritmos y teoría de grafos», M.Abellanas, D.Londares, coedición de Macrobit y Rama.

«Computers and graph teory», R.Bharath, Editorial Ellis Horwood, England

«Introducción a la Topología», M.J.Mansfield, Editorial Alhambra, Madrid.

» Introducción a la teoría de grafos», Robin J. Wilson, Alianza Universidad, Madrid, 1983.